Collective Intelligence Exam
我为什么会有这么多课
2024-12-18 A
1. Iterated Prisoner’s Dilemma
Question
What is the rational strategy in the Iterated Prisoner’s Dilemma game when the number of iterations is K?
Explain your answer.
当多轮囚徒困境（迭代次数为 K）中，什么是理性的策略？请解释你的答案。
1, 什么是囚徒困境（Prisoner’s Dilemma, PD）
这是一个两人博弈，每一轮中，每个玩家都有两个选择：
- C（Cooperate，合作）
- D（Defect，背叛）
经典收益关系满足：
| 你的选择 | 对方选择 | 你的收益 |
|---|---|---|
| C | C | 中等（R） |
| D | C | 很高（T） |
| C | D | 很低（S） |
| D | D | 很低（P） |
并且满足不等式：
$$
T > R > P > S
$$
单轮囚徒困境的结论：
不管对方做什么，D（背叛）都是理性选择（支配策略）。
2, 什么是“迭代”囚徒困境（Iterated PD）
- 同一对玩家 重复玩 K 轮
- 每一轮的选择都会影响未来轮次
- 总收益 = 所有轮次收益之和
关键区别：
单轮 PD → 没有未来
迭代 PD → 有未来惩罚 / 回报
3, “理性策略”是什么意思？
在博弈论中，“理性”通常指：
- 玩家 完全理性
- 知道游戏结构
- 知道对方也是理性的（共同知识）
- 目标是 最大化自身总收益
题目中的关键信息隐含了一个极其重要的条件：
K 是已知的、有限的
核心结论：
当囚徒困境的迭代次数 K 是已知的有限值 时，理性的策略是 每一轮都选择背叛（Always Defect）。
Step 1：从最后一轮开始（Backward Induction，逆向归纳）
第 K 轮（最后一轮）
- 这是最后一次
- 没有未来惩罚或奖励
- 等价于 单轮囚徒困境
在单轮 PD 中：
- 背叛（D）严格支配合作（C）
理性玩家在第 K 轮一定会背叛
Step 2：倒数第二轮（第 K−1 轮）
双方都知道：
- 第 K 轮 必然是 D
- 所以第 K−1 轮的选择 不会影响未来行为
那么第 K−1 轮也等价于单轮 PD
理性选择仍然是 D
Step 3：不断向前推
同样的逻辑适用于：
- 第 K−2 轮
- …
- 第 1 轮
最终结论：
在每一轮中，合作都无法带来未来收益，因此理性选择始终是背叛。
| 情况 | 结论 |
|---|---|
| K 已知且有限 | Always Defect |
| K 无限 / 不确定 | 合作策略可能是理性的 |
| 进化博弈 / 群体博弈 | 合作可稳定存在 |
本题明确是“已知 K”的理论博弈论问题
当囚徒困境的迭代次数 K 是已知且有限时，理性的策略是在每一轮都选择背叛。
这是因为可以使用逆向归纳法：在最后一轮中，背叛是严格占优策略；而既然最后一轮无法被未来惩罚影响，那么前一轮的合作也无法带来额外收益，因此理性选择仍然是背叛。该推理递归地适用于所有轮次。
Q：那为什么现实中人会合作？
A：因为现实中通常 K 不确定、存在声誉、重复博弈不完全信息或进化选择，不满足本题假设。
2. Game Theory – Symmetric Two-Person Game
Analyze the following game:
分析以下博弈：
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 5 , 5 | 1 , 5 |
| B | 5 , 1 | 0 , 0 |
Answer the following:
请回答下列问题：
Is there a dominant strategy for the players?
- If yes, which one and why?
- If not, explain why.
是否存在占优策略？
如果存在，是哪一个？为什么？
如果不存在，请解释原因。
Is A an evolutionarily stable strategy (ESS)? Explain your answer.
策略 A 是否为进化稳定策略（ESS）？请解释你的答案。
先读表：它到底表示什么？
表里每个格子是 (行玩家收益 , 列玩家收益)。
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 5 , 5 | 1 , 5 |
| B | 5 , 1 | 0 , 0 |
- 你是“行玩家”，对方是“列玩家”
- 你选 A/B，对方也选 A/B
- 例子：你选 A、对方选 B → 你得 1，对方得 5
因为题目说 symmetric（对称），所以双方地位一样，矩阵也对称（你看 (A,B) 是 1,5；(B,A) 是 5,1）。
什么是占优策略（Dominant Strategy）？
对某个玩家来说，如果一个策略 不管对方怎么选，都能让自己的收益 至少不差，并且在某些情况下 更好，那它就是（弱）占优策略；如果对所有情况下都更好，则是严格占优。
做题方法：固定对方选择，对比你两种策略的收益
只需要比较“你自己”的数字（每格的第一个数）。
检查：行玩家是否有占优策略？
情况一：对方选 A（看第一列）
- 你选 A：收益 = 5（格子 A,A 的第一个数）
- 你选 B：收益 = 5（格子 B,A 的第一个数）
结论：在对方选 A 时，A 和 B 一样好。
情况二：对方选 B（看第二列）
- 你选 A：收益 = 1（格子 A,B 的第一个数）
- 你选 B：收益 = 0（格子 B,B 的第一个数）
结论：在对方选 B 时，A 更好（1 > 0）。
合并两种情况
- 对方选 A：A = B
- 对方选 B：A > B
所以：A 从不比 B 差，并且有时更好
行玩家的 A 是弱占优策略（weakly dominant）。
列玩家是否也有占优策略？
因为是对称博弈，你其实可以直接说“对称所以列玩家同理”。
现在看列玩家的收益（每格的第二个数）。
情况一：行玩家选 A（看第一行）
- 列选 A：收益 = 5（A,A 第二个数）
- 列选 B：收益 = 5（A,B 第二个数）
一样好。
情况二：行玩家选 B（看第二行）
- 列选 A：收益 = 1（B,A 第二个数）
- 列选 B：收益 = 0（B,B 第二个数）
A 更好（1 > 0）。
列玩家同样：A 弱占优。
进化稳定策略 ESS 是进化博弈里的概念：把策略看成“物种/行为类型”。
如果一个群体几乎全都用策略 A，突然出现少量“突变者”用 B：
- 如果突变者 无法在收益上占便宜（无法扩散），那 A 就是稳定的。
令收益函数为 $u(\text{你的策略}, \text{对手策略})$)$。
A 是 ESS 当且仅当满足其一：
严格打败突变者：
$$
u(A,A) > u(B,A)
$$如果打平（=），则看第二层“对突变者时谁更强”：
$$
u(A,A) = u(B,A) \ \text{且} \ u(A,B) > u(B,B)
$$
这就是“先看在 A-群体中突变者能不能占便宜；如果占不到（打平），再看互相遇到突变者时谁更吃亏”。
我们只看行玩家收益（对称博弈足够）。
- $u(A,A) = 5$
- $u(B,A) = 5$
所以第一条不是 “>”，而是 相等，进入第二条。
再算：
- $u(A,B) = 1$
- $u(B,B) = 0$
比较：
$$
u(A,B)=1 > 0 = u(B,B)
$$
满足第二条，所以 A 是 ESS。
3. Foraging by Ants
In the ant foraging model, consider the grid below.
在蚂蚁觅食模型中，考虑下面的格子布局。
The agent is in the middle cell (X).
The agent is heading North-East.
Numbers represent pheromone levels.
代理位于中间格（X）。
代理朝向东北（North-East）。
数字表示信息素浓度（pheromone levels）。
Write in each cell the probability that the agent’s next step will go to that cell.
请在每个格子中写出代理下一步移动到该格子的概率。
| 12 | 10 | 15 |
|---|---|---|
| 20 | X 33 | 25 |
| 5 | 11 | 42 |
4. Attractors
Question
What is an attractor?
什么是吸引子（attractor）？
Be as precise as possible.
Give examples of at least two different types of attractors.
请尽量精确地描述。
举出至少两类不同类型吸引子的例子。
5. Replicator Dynamics
Consider the payoff matrix:
考虑以下收益矩阵：
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | 3 | 1 | 4 |
| B | 4 | 3 | 1 |
| C | 1 | 4 | 3 |
Let:
- $x_A = $ proportion of players using strategy A
- $x_B = $ proportion of players using strategy B
- $x_C = $ proportion of players using strategy C
设：
- $x_A$ = 使用策略 A 的个体比例
- $x_B$ = 使用策略 B 的个体比例
- $x_C$ = 使用策略 C 的个体比例
Using replicator dynamics, write the following equations:
使用复制者动力学，写出以下方程：
$$
\frac{dx_A}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_B}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_C}{dt} =
$$
2024-12-18 B
1. Axelrod’s Tournament
Question
What was the winning strategy in Axelrod’s Tournament of Iterated Prisoner’s Dilemma games?
问题
在 Axelrod 的迭代囚徒困境锦标赛中，哪个策略获胜？
How did it work?
Explain its basic behavior.
它是如何运作的？
解释其基本行为特征。
2. Game Theory – Symmetric Two-Person Game
Analyze the following game:
分析以下博弈：
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 6 , 6 | 2 , 3 |
| B | 3 , 2 | 1 , 1 |
Answer:
请回答：
Is there a dominant strategy? Why or why not?
Is A an evolutionary stable strategy? Explain.
是否存在占优策略？请说明理由。
策略 A 是否为进化稳定策略？请解释。
3. Foraging by Ants
Agent is in the middle cell (X).
Heading South-East.
Numbers represent pheromone levels.
代理位于中间格子（X）。
朝向东南（South-East）。
数字表示信息素浓度。
Write the probability that the agent’s next step goes to each cell.
写出代理下一步移动到每个格子的概率。
| 12 | 10 | 15 |
|---|---|---|
| 20 | X 33 | 25 |
| 5 | 10 | 65 |
4. Stigmergy
Question
What is stigmergy?
什么是刺激耦合（stigmergy）？
Explain the basic concept.
Give examples.
解释其基本概念。
举例说明。
5. Replicator Dynamics
Consider the payoff matrix:
考虑以下收益矩阵：
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | 4 | 2 | 5 |
| B | 5 | 4 | 2 |
| C | 2 | 5 | 4 |
Let:
- $x_A$, $x_B$, $x_C$ be the proportions of strategies A, B, and C.
设：$x_A, x_B, x_C$ 为策略 A、B、C 的比例。
Write the replicator dynamics equations:
写出复制者动力学方程：
$$
\frac{dx_A}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_B}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_C}{dt} =
$$
2025-01-03 A
1. Iterated Prisoner’s Dilemma
Question
In the Iterated Prisoner’s Dilemma game, will the strategy called Tit-For-Tat (TFT) beat the strategy called ALLD?
Why?
在多次囚徒困境中，策略 以牙还牙（TFT） 能否战胜 始终背叛（ALLD）？为什么？
2. Game Theory – Symmetric Two-Person Game
Analyze the following game:
分析以下博弈：
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 4 , 4 | 1 , 5 |
| B | 5 , 1 | 0 , 0 |
Answer the following:
请回答下列问题：
Is there a dominant strategy for the players?
- If yes, which one and why?
- If not, why?
对玩家是否存在占优策略？
- 如果存在，是哪一个？并说明理由。
- 如果不存在，说明原因。
Is there a mixed strategy Nash equilibrium?
- If yes, what is it?
- Explain your answer.
是否存在混合策略纳什均衡？
- 若存在，是什么？
- 解释你的答案。
3. Foraging by Ants
In the ant foraging model:
The agent is in the middle cell (X).
The agent is heading North-East.
Numbers indicate pheromone levels.
代理位于中间格子（X）。
代理朝向东北（North-East）。
数字表示信息素浓度。
Write in each cell the probability that the agent’s next step will take it to that cell.
请在每个格子中写出代理下一步移动到该格子的概率。
| 10 | 15 | 15 |
|---|---|---|
| 10 | X 5 | 20 |
| 10 | 5 | 10 |
5. Replicator Dynamics
Consider the payoff matrix:
考虑以下收益矩阵：
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | 5 | 1 | 2 |
| B | 2 | 5 | 1 |
| C | 1 | 2 | 5 |
Let:
- $x_A = $ proportion of players using strategy A
- $x_B = $ proportion of players using strategy B
- $x_C = $ proportion of players using strategy C
设：
- $x_A$ = 使用策略 A 的比例
- $x_B$ = 使用策略 B 的比例
- $x_C$ = 使用策略 C 的比例
Using replicator dynamics, write the following equations:
使用复制者动力学，写出以下方程：
$$
\frac{dx_A}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_B}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_C}{dt} =
$$
2025-01-03 B
1. Iterated Prisoner’s Dilemma
Question
What strategy will win if ALLC plays against TFT in the Iterated Prisoner’s Dilemma?
Explain.
如果 始终合作（ALLC） 与 以牙还牙（TFT） 对弈，哪种策略会胜出？请解释。
2. Game Theory – Symmetric Two-Person Game
Analyze the following game:
分析以下博弈：
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 6 , 6 | 1 , 3 |
| B | 3 , 1 | 2 , 2 |
Answer:
请回答：
Is there a dominant strategy? Why or why not?
Is there a mixed strategy Nash equilibrium?
- If yes, what is it?
- Explain your answer.
是否存在占优策略？请说明理由。
是否存在混合策略纳什均衡？
- 若存在，是什么？
- 解释你的答案。
3. Foraging by Ants
The agent is in the middle cell (X).
The agent is heading South-East.
Numbers represent pheromone levels.
代理位于中间格（X）。
代理朝向东南（South-East）。
数字代表信息素浓度。
Write the probability that the agent’s next step goes to each cell.
写出代理下一步移动到各格子的概率。
| 11 | 6 | 11 |
|---|---|---|
| 5 | X 12 | 6 |
| 21 | 5 | 22 |
5. Replicator Dynamics
Consider the payoff matrix:
考虑以下收益矩阵：
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | 40 | 20 | 5 |
| B | 5 | 40 | 20 |
| C | 20 | 5 | 40 |
Let:
- $x_A$, $x_B$, $x_C$ be the proportions of strategies A, B, and C.
设：$x_A, x_B, x_C$ 分别为策略 A、B、C 的比例。
Write the replicator dynamics equations:
写出复制者动力学方程：
$$
\frac{dx_A}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_B}{dt} =
$$
$$
\frac{dx_C}{dt} =
$$
Collective Intelligence Exam